1891
香農(nóng)采樣定理是信息論中的基本概念，它給出了取樣頻率和信號帶寬之間最小充分采樣率。該定理由克勞德·香農(nóng)于1949年在《貝爾系統(tǒng)技術(shù)日志》（Bell System Technical Journal）上發(fā)表，對數(shù)字信號處理及通信領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。
1.香農(nóng)采樣定理的定義
香農(nóng)采樣定理指出：如果一個連續(xù)時間的信號帶寬有限，則此信號的極限信息可以被一組等間隔采樣點的數(shù)字信號表示，而這些采樣點的采樣頻率必須大于信號帶寬的兩倍。
2.香農(nóng)采樣定理公式證明
設(shè)信號 f(t) 的傅里葉變換為 F(ω)，其中 ω 為角頻率，f(t) 的帶寬為 B。
根據(jù)采樣定理，采樣頻率 f 必須滿足：
f > 2B
則經(jīng)過沖激串 P(t) 的卷積得到采樣信號 x(t)：
x(t) = ∑n=-∞^∞ f(nT) · P(t-nT)
其中 T 為采樣周期，P(t) 為沖激串。
將上式代入傅里葉變換中得到：
X(ω) = (1/T) ∑n=-∞^∞ F(ω-2πn/T) · P(ω-2πn/T)
根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可以證明：
當(dāng) |ω| < π/T 時，X(ω) 的值可由 F(ω) 確定；
當(dāng) π/T ≤ |ω| ≤ π/B 時，X(ω) 的值全部為零；
當(dāng) |ω| > π/B 時，X(ω) 的值不完全由 F(ω) 決定，因此信號F(ω)會出現(xiàn)混疊。
因此，在頻率范圍 [π/T, π/B] 內(nèi)出現(xiàn)的混疊是必然的，以此推導(dǎo)可以得出最小采樣頻率：f > 2B。
3.香農(nóng)采樣定理的意義和作用
香農(nóng)采樣定理的本質(zhì)是研究信號在離散時間下的表示方式，指出了如何將連續(xù)時間的信號轉(zhuǎn)化為離散時間的信號，并保證了采樣后信號信息能夠完全恢復(fù)。它在數(shù)字信號處理、通信等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。
例如，在數(shù)碼相機、數(shù)碼錄音機、有線與無線通信系統(tǒng)等領(lǐng)域都需要依據(jù)香農(nóng)采樣定理進(jìn)行信號的采集和傳輸處理，以保證信號質(zhì)量和信息的無失真?zhèn)鬏?/a>。
