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為了以有效的方式呈現(xiàn)數(shù)值結(jié)果，選擇了一種硅材料進(jìn)行數(shù)值評估，表1中列出了其以國際單位表示的參數(shù)
表1 硅的物理材料參數(shù)（以SI單位表示）
為了反演上述方程中的拉普拉斯變換。（64）-（65），我們采用了基于傅立葉級數(shù)展開的數(shù)值反演方法。52-58中列出了用于在物理域中找到解的數(shù)值反演方法。FORTRAN編程語言生成了數(shù)值代碼。MATLAB軟件具有強(qiáng)大的圖形功能，可以直觀地表示數(shù)值結(jié)果，在數(shù)值算法中保持十位數(shù)的精度。
圖?1、2、3?顯示溫度、位移和應(yīng)力的作用符合廣義熱彈性理論，該理論預(yù)測小時間的有限速度，并且行為類似于耦合理論，該理論預(yù)測大時間的無限速度。
圖1
圖2
圖3
圖1顯示了無量綱溫度的變化
對x-軸代表三個不同的時間時刻，即t=0.1,0.2和t=0.3我們觀察到，在任何固定時間，溫度分布在邊界處達(dá)到最大值，與使半空間邊界表面受到熱沖擊的熱邊界條件一致。在介質(zhì)內(nèi)部，這些值會慢慢衰減。對于小值的時間（t=0.10，say），值降至零，并且由于熱波的影響，急劇溫度降至零。這種行為與廣義熱彈性理論一致，該理論預(yù)測了短時間的有限波速。在較長的時間值（t=0.2or0.3），溫度曲線與耦合理論一致，表現(xiàn)出無限速傳播的特性。這種轉(zhuǎn)變表明，最初，熱效應(yīng)是局部的，但在更長的時間內(nèi)，這些效應(yīng)會迅速擴(kuò)散到整個材料中。
圖?2?描述了無量綱位移的變化
對x-軸代表三個不同的時間時刻，即t=0.1,0.2和t=0.3我們注意到，對于任何固定的時間值，位移在邊界處記錄一個負(fù)值。該初始值表示對熱輸入的顯著機(jī)械響應(yīng)。然后，位移值隨距離增加，達(dá)到其最大正值，然后逐漸減小到零。此外，當(dāng)時間值增加時，整個域和切割的位移大小增加x-軸最近，表示機(jī)械變形速率的增加。我們繪制圖。圖3說明無量綱應(yīng)力分量的變化
與距離x在不同的時間值。最初，應(yīng)力分布在表面附近顯示出急劇的梯度，表明由于熱效應(yīng)而產(chǎn)生顯著的應(yīng)力。對于任何固定的時間值，應(yīng)力的大小從邊界處的零值增加到最大值，然后隨著距離的增加而減小，最后減小到零。在無量綱溫度分布和非有量綱應(yīng)力分布中，熱波和機(jī)械波之間的這種雙向相互作用表明，硅的熱響應(yīng)和機(jī)械響應(yīng)相互作用是多么復(fù)雜。此外，對于較小的時間值，熱波前和機(jī)械波前的位置在圖中重合。1?和?3.這證明了所提供的數(shù)值計算的準(zhǔn)確性。
圖4顯示了載流子密度的非量綱分布
對x-軸表示三個不同的時間時刻，即t=0.1,0.2和t=0.3，在邊界x=0，表面附近有高濃度的顆粒，隨著它們擴(kuò)散到硅介質(zhì)的更深處，顆粒濃度會降低。溫度升高導(dǎo)致電子從價帶到導(dǎo)帶的運(yùn)動增加，從而導(dǎo)致電導(dǎo)率的提高和電阻的降低。這種行為符合半導(dǎo)體物理學(xué)的原理，其中溫度的升高對自由電荷載流子的數(shù)量有重大影響。這種現(xiàn)象表明了溫度對載流子運(yùn)動的影響。
圖4
圖5顯示了電流載流子的非量綱分布
對x-軸表示三個不同的時間時刻，即t=0.1,0.2和t=0.3，在邊界處，表面有較大的電流載流子值，當(dāng)它們進(jìn)入介質(zhì)時，電流載流子值會減小。初始值表示電流載流子對熱激勵的迅速反應(yīng)。隨著時間的流逝，載流子更多地滲透到硅中，導(dǎo)致原始值降低，這表明載流子正在擴(kuò)散到整個材料中。
圖5
圖6顯示了無量綱電化學(xué)勢能的分布
對于不同的時間值。材料表面具有最大的勢能，隨著深入物質(zhì)，勢能逐漸減小到零。觀察到的模式表明化學(xué)勢和距離呈負(fù)相關(guān)。
圖6
根據(jù)費米-狄拉克分布，化學(xué)勢（代表電子進(jìn)入系統(tǒng)所需的能量）決定了能級被占用的概率?；瘜W(xué)勢對載流子濃度有直接影響，載流子濃度由價帶中的空穴和導(dǎo)帶中的電子組成。
檢查在圖中獲得的結(jié)果的驗證。圖5和圖6，我們可以表示不同時間值的化學(xué)勢和電流載流子之間的關(guān)系（見圖1）。圖7顯示了無量綱電流載流子之間的相關(guān)性
和電化學(xué)勢能
在半導(dǎo)體材料中的不同時間值下。該分布說明了電流載流子和電化學(xué)勢之間的相互依賴性，其中一種實體的變化會影響另一種實體。
圖7
基于圖8、9和10，可以看出，所展示的函數(shù)的輪廓在一段延遲時間后開始，在此期間，波到達(dá)介質(zhì)內(nèi)部的深處。
隨著x值的增加，波開始的時間較晚，并進(jìn)一步傳播到介質(zhì)中。這種現(xiàn)象與物理現(xiàn)實是一致的，因為隨著時間的推移，波進(jìn)一步滲透到介質(zhì)中，波前最終達(dá)到更大的深度。
此外，與較深的距離相比，函數(shù)的值在較短的距離（較小的x）下具有較大的幅值。圖8顯示了硅介質(zhì)內(nèi)不同深度的無量綱電流密度N（x，t）。顆粒的濃度隨著深度的增加而降低，表明存在擴(kuò)散過程。
波浪到達(dá)深度增加延遲的現(xiàn)象與波浪傳播的物理現(xiàn)象一致。類似于顆粒的擴(kuò)散，電流載流子的濃度隨著深度和持續(xù)時間的增加而減少，如圖9所示。通過觀察圖8和圖9，很明顯，隨著載流子通過擴(kuò)散擴(kuò)散擴(kuò)散到介質(zhì)中，邊界表面上的高濃度減小。這種分布支持半導(dǎo)體中電荷載流子動力學(xué)的理論模型，其中熱刺激導(dǎo)致載流子向更深區(qū)域的漸進(jìn)運(yùn)動。
圖8
圖9
圖10
圖10表明，電化學(xué)勢能的分布隨時間增長，表明電化學(xué)勢能在介質(zhì)內(nèi)部逐漸積累。隨著介質(zhì)深度的增加，電化學(xué)勢能減小。這種行為可以歸因于擴(kuò)散和傳輸機(jī)制，其中分布由勢能梯度驅(qū)動并最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。
粒子擴(kuò)散弛豫時間?
：對當(dāng)前載體的意義和影響
在理想的情況下，流經(jīng)半導(dǎo)體的載流子應(yīng)該具有連續(xù)的功能。這一假設(shè)簡化了理論模型和電路分析，使我們能夠應(yīng)用歐姆定律和基爾霍夫定律等公認(rèn)的原理。然而，在某些實際情況下，當(dāng)前載波可能出現(xiàn)不連續(xù)或包含快速轉(zhuǎn)換。這種情況源于建模假設(shè)的固有限制、制造缺陷或先進(jìn)電子系統(tǒng)中發(fā)生的復(fù)雜交互。因此，在我們的模型中，有必要解決理論模型在解釋這一現(xiàn)象時的局限性。因此，需要修改歐姆定律，如等式（34）所述。為了根據(jù)顆粒擴(kuò)散弛豫時間的不同值來研究這種改性的效果，視頻S1顯示介質(zhì)內(nèi)部的電流載流子分布I（x，t），其在0到0.2之間變化。我們注意到，對于
=0，電流載流子表現(xiàn)為與理論模型一致的光滑連續(xù)函數(shù)。然而，對于
＞0，電流載流子在波前位置的值發(fā)生突然跳躍，這隨著
的增加而變得更加明顯。這涵蓋了幾種實驗情況，其中
是一個任意常數(shù)，根據(jù)不同的物理環(huán)境取特殊值。
與許多早期模型相比，驗證我們的數(shù)學(xué)模型。
在本節(jié)中，我們將介紹一個基于特定數(shù)學(xué)參數(shù)的廣義數(shù)學(xué)模型
我們可以使用這個模型來推導(dǎo)每個早期的模型，作為特例，包含在表2中。建議的控制方程如下：
其中
是彈性耦合因子。
表2 建議模型與先前模型的極限情況。
通過代入前面方程（43）中的無量綱變量，我們得到
其中
我們在“問題的公式化”一節(jié)中使用相同的方法獲得了以前各種模型的解決方案，但為了避免擴(kuò)大文章的篇幅，我們在這里不介紹它們。表3、表4、表5對于驗證我們模型的精度至關(guān)重要。它們使我們能夠通過檢查不同位置（x）和兩個時刻（t=0.05，t=0.10）的無量綱溫度、應(yīng)力和電流載流子分布，將我們的模型（I）與其他模型（II，III）進(jìn)行比較。這些比較強(qiáng)調(diào)了模型準(zhǔn)確預(yù)測溫度和應(yīng)力行為的能力。
表3 不同位置的無量綱溫度分布（x）和兩個瞬間時間（t=0.05，t=0.10）
表4
表5
圖11、圖12表示無量綱物理變量場的上述不同模型（模型I，黑線）、（模型II，藍(lán)線）和（模型III，紅線）之間的比較，即無量綱溫度分布（見圖11a、圖11b）、無量綱應(yīng)力分布（見圖圖11c、圖11d）、無因次位移（見圖12a、圖12b）和無量綱粒子數(shù)（如圖12c、圖12d）。在這些圖中，標(biāo)記（a）和（c）表示小時間（t=0.05）的情況，而由（b）和（d）標(biāo)記的標(biāo)記表示大時間（t=1）的情況。廣義模型III的無量綱弛豫參數(shù)取為=
=0.02，而我們的模型I的這些值為
=0.02，
=0.01。
圖11
圖12
從這些數(shù)字中，我們注意到
在我們的模型中，小時間值的溫度分布具有有限的速度，而其他模型預(yù)測的是無限速度，并且波前位置出現(xiàn)在x=0.35這一優(yōu)勢使我們的模型與眾不同，而其他兩個模型的行為類似于熱彈性的耦合理論。因此，我們的模型消除了其他兩個模型中的悖論。對于較大的時間值，所有模型的溫度分布都是相同的。
對于所有模型，法向應(yīng)力分量在任何時候都具有相同的機(jī)械波前位置，而熱波前位置僅在我們的模型中出現(xiàn)很短的時間。所有型號在拉伸區(qū)域略有差異，而在壓縮區(qū)域則更為突出。
位移分量u在小時間的情況下，所有模型之間的分布變化很小，而在大時間的情況下，分布變化明顯。
粒子分布的數(shù)量N在我們的模型中，記錄的值比其他模型小，并且迅速衰減為零。
我們模型中的所有函數(shù)場的值都小于其他模型，并且在半導(dǎo)體介質(zhì)中衰減迅速。
結(jié)論
這項研究提出了一個創(chuàng)新的數(shù)學(xué)框架，用于研究半導(dǎo)體彈性材料在外部磁場下的特性。主要目標(biāo)是提供一個全面的數(shù)學(xué)模型，包括半導(dǎo)體材料中等離子體、熱波和彈性波的相互作用。半導(dǎo)體的數(shù)學(xué)建?，F(xiàn)在包括電化學(xué)電勢的積分，這標(biāo)志著一個重大的發(fā)展。半導(dǎo)體中的電化學(xué)電勢至關(guān)重要，因為它控制著載流子的行為和濃度，從而直接影響二極管和晶體管等半導(dǎo)體器件的性能和功能。此外，它還建立了平衡條件和傳輸現(xiàn)象，這對理解和設(shè)計半導(dǎo)體材料和器件至關(guān)重要。
數(shù)據(jù)可用性
本研究期間生成或分析的所有數(shù)據(jù)都包含在這篇已發(fā)表的文章中。
縮寫
:導(dǎo)帶和價帶之間變形勢的差異
:線性熱膨脹系數(shù)
:磁感應(yīng)
：彈性常數(shù)張量
：恒定應(yīng)變下的比熱
：載流子擴(kuò)散系數(shù)
：施加的外部電場
：應(yīng)變張量的分量
：立方體擴(kuò)張
：半導(dǎo)體的能隙
：單位質(zhì)量的外力分量
：洛倫茲力
：每單位電荷的載波照片生成源
：外部施加磁場
：感應(yīng)磁場
：電流載流子密度矢量
：導(dǎo)熱系數(shù)
：林氏常數(shù)
：電化學(xué)勢能
：時間t的載流子密度
：平衡時的載流子密度
：向外到表面A的法向單位向量的分量
：亥姆霍茲自由能函數(shù)
：熱通量矢量
：粒子的電荷
：單位質(zhì)量外部熱源的強(qiáng)度
：介質(zhì)的獨立時間密度
：單位質(zhì)量熵
：應(yīng)力張量的分量
：電導(dǎo)率
：絕對溫度
：材料在平衡狀態(tài)下的溫度
：熱弛豫時間
：電子-空穴復(fù)合時間
：時間
：單位質(zhì)量的內(nèi)能
：位移組件
下載ECAD模型
