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任何時候針對任何復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬時，控制方程與幾何模型都需要經(jīng)過不同程度的離散化處理。在 CFD 模擬中，網(wǎng)格劃分將系統(tǒng)幾何模型離散化，創(chuàng)建一組被用于控制方程計(jì)算的節(jié)點(diǎn)。現(xiàn)代 CFD 的一個挑戰(zhàn)是在模擬中如何做到求解高精度、網(wǎng)格高分辨率和低計(jì)算資源耗費(fèi)的平衡。為了達(dá)到這一目標(biāo)，很多網(wǎng)格生成方法的開發(fā)都意圖在處理復(fù)雜幾何圖形的同時不增加計(jì)算復(fù)雜性。
圖中兩個渦輪葉片是一個線性混合網(wǎng)格（六面體，四面體等）。高階網(wǎng)格的劃分能夠在一些關(guān)鍵面上在不損失網(wǎng)格精度的情況下降低網(wǎng)格數(shù)量（圖片：Cadence）
在 CFD 模擬使用的多種網(wǎng)格生成方法中，高階網(wǎng)格是一種能夠?qū)崿F(xiàn)精度、分辨率和計(jì)算成本平衡的有效方法。高階網(wǎng)格劃分的目標(biāo)是利用高階多項(xiàng)式曲線的優(yōu)勢為 CFD 計(jì)算創(chuàng)建網(wǎng)格，從而實(shí)現(xiàn)在復(fù)雜系統(tǒng)環(huán)境下提供比線性網(wǎng)格更高的精度。高階網(wǎng)格是如何生成的？就計(jì)算精度和計(jì)算復(fù)雜性而言又是如何在線性網(wǎng)格上疊加實(shí)現(xiàn)的？您可以在下文中找到答案。
網(wǎng)格階數(shù)的定義
高階網(wǎng)格是將相鄰的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)用大于 1 階（線性）的多項(xiàng)式曲線相連。理解高階網(wǎng)格最容易的方法是將其與線性網(wǎng)格做比較。在線性網(wǎng)格中，幾何圖形的網(wǎng)格單元是由一組連接網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的直線構(gòu)成；而高階網(wǎng)格則用非線性多項(xiàng)式函數(shù)（如二次方程）連接網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，所以這項(xiàng)技術(shù)被稱作“網(wǎng)格曲線化”。
采用網(wǎng)格曲線化或高階網(wǎng)格生成技術(shù)的 CFD 網(wǎng)格生成軟件通常采用二次到四次多項(xiàng)式。如果將相同技術(shù)用于一次多項(xiàng)式，則會返回到線性網(wǎng)格，因此網(wǎng)格曲線化才是一種相對廣義的網(wǎng)格生成技術(shù)。網(wǎng)格曲線化有很多幾何和數(shù)學(xué)上的優(yōu)勢，但最主要的優(yōu)點(diǎn)還是在于計(jì)算方法。
線性網(wǎng)格 vs. 高階網(wǎng)格
下圖所示的系統(tǒng)是在葉片表面和邊界層區(qū)域使用線性網(wǎng)格的渦輪葉片網(wǎng)格分布。可以看到，在越接近葉片根部邊緣處，網(wǎng)格密度越高。這樣做是為了精確的模擬葉片表面彎曲形狀以及沿表面邊界層的梯度變化。在線性坐標(biāo)系統(tǒng)中，梯度越靠近表面就會越大，網(wǎng)格密度也會隨著梯度的變大而增加。
圖中示例的線性網(wǎng)格可以用高階網(wǎng)格生成技術(shù)優(yōu)化（圖片：Cadence）
通過網(wǎng)格曲線化技術(shù)，我們可以生成更符合渦輪葉片表面曲度變化的網(wǎng)格，且無需增加網(wǎng)格密度。在線性網(wǎng)格中，高彎曲度的表面需要高密度網(wǎng)格才能獲得所需精度。同時，由于數(shù)值算法中的運(yùn)算數(shù)量會隨著網(wǎng)格密度增加而規(guī)模性增加，所以運(yùn)算時間也會更長。
基于線性網(wǎng)格創(chuàng)建高階網(wǎng)格
高階網(wǎng)格可以基于現(xiàn)有的線性網(wǎng)格通過插值法創(chuàng)建?；貧w分析被用于確定多項(xiàng)式模型或者等效樣條模型的系數(shù)然后用插值方法給出兩端點(diǎn)間的數(shù)據(jù)點(diǎn)，并將這些數(shù)據(jù)點(diǎn)賦予曲線網(wǎng)格以符合多項(xiàng)式模型。高階網(wǎng)格生成要將類似的過程用于線性網(wǎng)格（不管是結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格還是混合網(wǎng)網(wǎng)格），以便提取與多項(xiàng)式曲線相關(guān)的連續(xù)點(diǎn)多項(xiàng)式曲線。
讓我們來看下面的圖示，線性網(wǎng)格被用于描述有曲度變化的渦輪葉片表面。在對線性網(wǎng)格設(shè)定邊界條件后，利用算法將線性網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)與多項(xiàng)式曲線匹配關(guān)聯(lián)。CFD 工程師可以自行選擇最適合模擬需求的多項(xiàng)式網(wǎng)格階數(shù)。針對一些具有特殊多項(xiàng)式曲率的曲面，生成的多項(xiàng)式曲線網(wǎng)格也可以很好的符合葉片表面的曲度變化，且不需要線性網(wǎng)格那樣高密度網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)分布。
完成相關(guān)表面的多項(xiàng)式曲線定義后，可以用插值法高效生成任意密度的網(wǎng)格。網(wǎng)格的精度可以通過調(diào)整插值后的網(wǎng)格密度或不同的插值方法來進(jìn)一步優(yōu)化。下圖左可見插值后高階網(wǎng)格的示例。下圖右可以看到一些插值法可能在生成的插值網(wǎng)格中產(chǎn)生偽影，所以選擇正確的插值方法也是生成高精確曲線網(wǎng)格的關(guān)鍵。
插值后的多項(xiàng)式曲線網(wǎng)格與插值法導(dǎo)致偽影的線性網(wǎng)格（圖片：Cadence）
Cadence Pointwise 網(wǎng)格生成工具可以幫助 CFD 工程師創(chuàng)建復(fù)雜幾何模型高精度模擬所需要的高階網(wǎng)格，且不會顯著增加計(jì)算復(fù)雜性。
