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簡(jiǎn)介：對(duì)于學(xué)生在課后提出的關(guān)于全通系統(tǒng)的追問，推導(dǎo)出原來課件中存在的條件。這里的條件也完善了課件內(nèi)容。對(duì)于學(xué)生的追問也令授課教師感到幸福。
關(guān)鍵詞：全通系統(tǒng)，RLC電路

§01、全通系統(tǒng)

在上周的“信號(hào)與系統(tǒng)”課上，講述到系統(tǒng)的頻率特性[1]分析，涉及到全通系統(tǒng)[2]的概念。也就是信號(hào)通過全通系統(tǒng)后，幅度譜不變，僅僅相位譜發(fā)生改變。其中列舉的電路系統(tǒng)全通系統(tǒng)的例子，如下圖所示。這個(gè)例子比較成熟，在很多教科書中都會(huì)涉及到。

▲全通系統(tǒng)示例

由于時(shí)間的原因，在課堂上并沒有對(duì)于該全通電路系統(tǒng)進(jìn)行詳細(xì)介紹，僅僅介紹了它的結(jié)果。根據(jù)該系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)、極點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱分布的特點(diǎn)，可以得出信號(hào)通過該系統(tǒng)后，所有頻率分量的幅度增益相同，相位隨著頻率的增益單調(diào)下降。

作為全通系統(tǒng)的樣例，在電路介紹的時(shí)候，在課件上并沒有將電路中的所有條件進(jìn)行列寫出來。本以為由于該電路求解相對(duì)比較繁瑣，并不會(huì)引起班上的學(xué)生的特別的重視。但還是樣本學(xué)生在課后，對(duì)于這樣的電路進(jìn)行了推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)其中存在的問題。學(xué)生通過微信發(fā)送來疑問：

“

老師好，想問一個(gè)問題。此處的全通網(wǎng)絡(luò)我認(rèn)為是等效成一個(gè)交流電橋，然后利用戴維南定理計(jì)算傳遞函數(shù)，算出來是這個(gè)式子：

”

想問一下到底是哪個(gè)才對(duì)?而且ppt上給出的式子甚至沒有電容C。

且不論該學(xué)生自行推導(dǎo)的公式是否正確，至少這個(gè)全通電路系統(tǒng)引起了他的興趣，并做了進(jìn)一步的追問。

審視在這個(gè)成熟的全通系統(tǒng)的用例，的確對(duì)于它原有的出處少量佐證，至少能夠看到在原有課件中存在的缺少的條件。盡管沒有在第一時(shí)間能夠回答學(xué)生的提問，不過下面可以從問題的反方向來推導(dǎo)出上述電路系統(tǒng)成為全通系統(tǒng)的必要條件。

§02、對(duì)稱電路系統(tǒng)

下面僅僅依靠由LC組成的對(duì)稱網(wǎng)絡(luò)，輸出負(fù)載為電阻R，可以推導(dǎo)出電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。為了方便，使用器件s域模型，將原來的動(dòng)態(tài)電路網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換成變換域內(nèi)的電阻網(wǎng)絡(luò)。

首先根據(jù)對(duì)稱的LC網(wǎng)絡(luò)，將其重新整理成對(duì)稱的交流電橋的形式。輸出負(fù)載R就是電橋中點(diǎn)電壓的負(fù)載。

下圖顯示了全通網(wǎng)絡(luò)整理后的H橋接的形式。為了簡(jiǎn)化電路的求解，利用戴維寧定理（Thevenin'sTheorem）[3]將電橋兩邊分別等效成電壓源與電抗的串聯(lián)形式。

電路的等效性是如下圖所示。兩邊的等效電路中，恒壓源為輸出開路時(shí)對(duì)應(yīng)的LC分壓數(shù)值。電壓源內(nèi)阻為從網(wǎng)絡(luò)輸入端口處的交流電阻。因此可以分別計(jì)算出以及，然后利用電阻網(wǎng)絡(luò)分壓定理計(jì)算出輸出電壓信號(hào)。

兩個(gè)的數(shù)值為：

兩個(gè)內(nèi)阻相同，它們等于：

那么作用在電阻上的輸出電壓為：

所以該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

從上面可以看出，如果希望希望網(wǎng)絡(luò)能夠最終形成只有一對(duì)零點(diǎn)、極點(diǎn)z形成虛軸左右對(duì)稱關(guān)系，組成全通系統(tǒng)，那么只有將分母配置成在實(shí)軸上的2階重根，與分子抵消一個(gè)位于左半復(fù)平面的零點(diǎn)之后，便可以最終剩下一對(duì)關(guān)于虛軸左右對(duì)稱的零極點(diǎn)了。所以需要有如下的數(shù)值關(guān)系：

由此，可以將分母配置成一個(gè)2重根的表達(dá)式：